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$\displaystyle \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{x}}L&=\nabla f+\lambda\nabla g=\mathbf{0}\\ g(\mathbf{x})&\le 0\\ \lambda&\ge 0\\ \lambda g(\mathbf{x})&=0.\end{aligned}$

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$\nabla_w L(w,b,\xi_i,\alpha_i,\mu_i) = w - \sum_{i=1}^N\alpha_iy_ix_i=0 \\ \nabla_b L(w,b,\xi_i,\alpha_i,\mu_i) = - \sum_{i=1}^N\alpha_iy_i=0 \\ \nabla_{\xi_i} L(w,b,\xi_i,\alpha_i,\mu_i) = 2C\xi_i - y_ix_i - \mu_i=0 \\ \rightarrow \ =\left\{\begin{aligned} w=\sum_{i=1}^N\alpha_iy_ix_i & & (2) \\ \sum_{i=1}^Ny_ix_i=0 & & (3) \\ 2C\xi_i - y_ix_i - \mu_i=0 & & (4) \end{aligned} \right. 将(2)-(4)代入L(w,b,\xi_i,\alpha_i,\mu_i)中可得:\\ \min_{\alpha,\mu}L(\alpha,\mu)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\alpha_iy_ix_i \cdot \sum_{i=1}^N\alpha_iy_ix_i - \sum_{i=1}^Ny_ix_ib +C \cdot \sum_{i=1}^N\frac{(\alpha+\mu)^2}{4C^2}+\sum_{i=1}^N\alpha_i-\sum_{i=1}^N\alpha_i\xi_i-\sum_{i=1}^N\mu_i\xi_i\\ = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_ix_j) + \sum_{i=1}^N\frac{(\alpha+\mu)^2}{4C^2} + \sum_{i=1}^N\alpha_i-\sum_{i=1}^N\alpha_i\frac{\alpha+\mu_i}{2C}-\sum_{i=1}^N\mu_i\frac{\alpha+\mu_i}{2C}\\ = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\alpha_i\alpha_jy_iy_j(x_ix_j) + \sum_{i=1}^N\alpha_i - \sum_{i=1}^N\frac{(\alpha+\mu)^2}{4C^2}\\ s.t. \ \alpha_i* \geq 0\\ s.t. \ \mu_i* \geq 0$

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$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}} + \sum\limits_{j = 1}^m {{\mu _j}} \frac{{\partial {g_j}}}{{\partial {x_i}}} + \sum\limits_{k = 1}^l {{\lambda _k}\frac{{\partial {h_k}}}{{\partial {x_i}}}} = 0,{\rm{ }}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\\ {h_k}\left( {\bf{x}} \right) = 0,{\rm{ (}}k = 1,2, \cdots ,l)\\ {\mu _j}{g_j}\left( {\bf{x}} \right) = 0,{\rm{ (}}j = 1,2, \cdots ,m)\\ {\mu _j} \ge 0. \end{array} \right.$

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$\displaystyle \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{x}}L&=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{x}}=\nabla f+\lambda\nabla g=\mathbf{0}\\ \nabla_{\lambda}L&=\frac{\partial L}{\partial\lambda}=g(\mathbf{x})=0,\end{aligned}$

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$\displaystyle \begin{aligned} \nabla_{\mathbf{x}}L&=\mathbf{0}\\ g_j(\mathbf{x})&=0,~~j=1,\ldots,m,\\ h_k(\mathbf{x})&\le 0,\\ \mu_k&\ge 0,\\ \mu_k h_k(\mathbf{x})&=0,~~k=1,\ldots,p. \end {aligned}\\$

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